问题描述：

已知空间中的任意轴axis(u,v,w)，点v绕该轴旋转$\theta$后得到点v’，求满足条件的矩阵$R_\theta$，使得有
$v’ = R_\theta v$

思路1:
先将旋转到z轴，然后引用绕z轴旋转公式，再将该轴再旋转回原来的地方。
思路2：
矩阵的本质是线性变换，我们通过几何方法对三个轴分别写出三个线性变换的表达式，再将其拼接成矩阵。

这里我们讲一下思路1，思路2见3D Math Primer for Graphics and Game Development, 2nd Edition，不管采取哪种方法，得到的结果肯定是一样的。

众所周知，把一头大象关进冰箱需要三步
1.打开冰箱门
2.把大象放进去
3.关闭冰箱门

part1. 关于概念

什么是投影矩阵？
投影矩阵是一个4x4齐次矩阵，将点从观察空间(viewing/eye/camera space)变换到裁剪空间(cliping space)（或者理解成空间的变换，这两者本质是一样的）

正交投影与透视投影的区别？
由视锥体(frustum)变换到裁剪空间。正交投影是由一个cube变换到裁剪空间。我们这里不讨论正交投影。

什么是裁剪空间？
一个四维的齐次空间，从几何上来看还是个视锥，但请不要用看待普通三维空间的方法去看这个空间！它具有一定的拓扑性质。对于透视投影来说，该空间下的点，其w分量有着特殊的意义（其实就是观察空间中的点的深度值$Z_e$，一会儿我们会提到）。

为什么叫裁剪空间？怎么裁剪

问题描述:

对于三维空间中的直线方程

$p(t) = o + t\vec{d}$

其中$o$是原点, $\vec{d}$是单位方向向量。

对于给定的点$q$, 求出t的值, 使得直线上的点$p^\prime=p(t)$到$q$点的距离最近。

在Ray-tracing中, 计算并判断射线与球体是否相交是不可少的
那么如何来判断一条已知的射线是否交于给定的球体呢?
要计算球体射线交点，我们首先要先给出球与直线的方程

首先是球面方程

$$|x-c|^2=r^2$$

• x为球面上的点
• c为球心
• r为球的半径